یک رویکرد انقباض کوواریانس تصادفی برای جوانسازی ذرات در فیلتر ذرات تبدیل مجموعه

یک رویکرد انقباض کوواریانس تصادفی برای جوان سازی ذرات در فیلتر ذرات تبدیل مجموعه یک رویکرد انقباض کوواریانس تصادفی برای جوان سازی ذرات در تبدیل مجموعه. آندری آ. پوپوف و همکاران.

• آزمایشگاه علوم محاسباتی، گروه علوم کامپیوتر، فناوری ویرجینیا، 2202 کرافت درایو، بلکسبورگ، VA 24060، ایالات متحده آمریکا

• آزمایشگاه علوم محاسباتی، گروه علوم کامپیوتر، فناوری ویرجینیا، 2202 کرافت درایو، بلکسبورگ، VA 24060، ایالات متحده آمریکا

مکاتبه: آندری آ. پوپوف (apopov@vt. edu)

مکاتبه: آندری آ. پوپوف (apopov@vt. edu)

جوانسازی در فیلترهای ذرات برای جلوگیری از فروپاشی وزنه ها در زمانی که تعداد ذرات برای نمونه برداری مناسب از مناطق با احتمال زیاد فضای حالت کافی نیست، ضروری است. جوانسازی اغلب به روشی اکتشافی با افزودن نویز تصادفی انجام می شود که پشتیبانی گروه را افزایش می دهد. هدف این کار بهبود روش شناسی جوان سازی متعارف با معرفی اطلاعات قبلی اضافی به دست آمده از نمونه های اقلیم شناسی است. ذرات دینامیکی مورد استفاده برای نمونه برداری اهمیت با نمونه های به دست آمده از انقباض کوواریانس تصادفی تقویت می شوند. یک نوع موضعی از روش پیشنهادی توسعه یافته است. آزمایش های عددی با مدل Lorenz '63 نشان می دهد که فیلترهای اصلاح شده به طور قابل توجهی تحلیل ها را برای اندازه های گروه دینامیکی پایین بهبود می بخشند. علاوه بر این، آزمایش های بومی سازی با مدل لورنز 96 نشان می دهد که روش پیشنهادی قابل گسترش به سیستم های بزرگتر است.

• مقاله (PDF, 2749 KB)

Popov، A. A.، Subrahmanya، A. N.، و Sandu، A.: یک رویکرد انقباض کوواریانس تصادفی برای جوانسازی ذرات در فیلتر ذرات تبدیل مجموعه، Nonlin. Processes Geophys.، 29، 241-253، https://doi.org/10. 5194/npg-29-241-2022، 2022.

جذب داده های مبتنی بر گروه (Asch et al. ، 2016 ؛ Law et al. ، 2015 ؛ Reich and Cotter ، 2015) با هدف تخمین وضعیت برخی از سیستم های دینامیکی در یک چارچوب بیزی و توصیف عدم اطمینان از طریق گروهی از کشورهای ممکن است. توصیف توزیع عدم اطمینان دولت به دقت کافی ، به گروههای بسیار بزرگی نیاز دارد ، پدیده ای که به عنوان نفرین ابعاد شناخته می شود (تان و همکاران ، 2018 ؛ اسنایدر و همکاران ، 2008). چندین تکنیک مانند اصل آنتروپی حداکثر (جینز ، 2003) سعی در کاهش این بار با تجویز توزیع محدود شده توسط اطلاعات شناخته شده دارد. فیلتر کلمن (Burgers et al. ، 1998 ؛ Evensen ، 1994 ، 2009) توزیع های اساسی را فقط با میانگین گروه و کواریانس محدود می کند. استفاده از قانون بیز ، توزیع عادی قبلی را به یک توزیع عادی خلفی فرض شده تبدیل می کند.

کار قبلی (پوپوف و همکاران ، 2020) بر تقویت اطلاعات ارائه شده توسط این گروه با اطلاعات حاصل از انقباض کواریانس از طریق یک گروه جانشین در این گروه تبدیل شده است. در این مقاله ، ما این ایده را به فیلتر ذرات حمل و نقل گروه گسترش می دهیم (ETPF ، Reich ، 2013). ETPF یک گروه خاص را منتقل می کند که نشان دهنده توزیع خلفی با استفاده از نمونه گیری اهمیت است (لیو ، 2008) به گروه دیگری که به طور مساوی نمونه برداری شده است ، لحظات آن ، در حد بی نهایت ذرات ، به لحظات توزیع خلفی صحیح نزدیک می شود. مانند تمام فیلترهای ذرات ، ETPF مستعد سقوط وزن است. تلاش های اخیر برای اعمال فیلترهای ذرات در سیستم های با ابعاد بالا (Farchi and Bocquet ، 2018 ؛ Van Leeuwen ، 2009 ؛ Van Leeuwen et al. ، 2019) موفقیت هایی را تجربه کرده اند. با این حال ، فیلترهای ذرات هنوز با سایر روشهای پیشرفته مانند فیلتر کالمن گروهی رقابتی نیستند.

این کار یک رویکرد جدید برای جوان سازی ذرات را مورد بررسی قرار می دهد ، که برای جلوگیری از فروپاشی وزن در فیلترهای ذرات ضروری است. جوان سازی در فیلترهای ذرات نوع خاصی از تنظیم تصادفی است (Musso و همکاران ، 2001) و به طور معمول به صورت اکتشافی اجرا می شود. به جای اکتشافی ، رویکرد ما از اطلاعات قبلی برای غنی سازی زیر فضای گروه استفاده می کند. سهم جدید این کار به شرح زیر است: (1) ما یک روش جایگزین برای انجام جوان سازی ذرات در ETPF را با درج اطلاعات کواریانس اقلیمی معرفی می کنیم ، (2) ما این کار را با تقویت گروه دینامیکی (مدل) با ناهنجاری های مصنوعی با بهینه انجام می دهیممقیاس گذاری ، همراه با یک برآوردگر از نظر آماری صحیح است ، و (3) ما نشان می دهیم که این روش جوان سازی به طور قابل توجهی کیفیت تجزیه و تحلیل را برای اندازه های گروه دینامیکی پایین بهبود می بخشد.

این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. بخش 2 مفهوم استنباط بیزی را با افزودن اطلاعات قبلی و اجرای آن در زمینه نمونه گیری اهمیت بررسی می کند. بخش 3 در مورد فیلتر ذرات تبدیل گروه و اکتشافی جوان سازی متعارف آن بحث می کند. مفهوم انقباض کواریانس تصادفی در فرقه ارائه شده است. 4 ، و ETPF برای استفاده از این انقباض گسترش یافته است. نتایج آزمایش عددی در فرقه گزارش شده است. 5- سخنان نتیجه گیری در فرقه آورده شده است. 6

استنباط بیزی (جینز ، 2003) با هدف تبدیل اطلاعات قبلی در مورد وضعیت یک سیستم (ارائه شده توسط توزیع یک متغیر تصادفی X F) ، اطلاعات کیفی و کمی اضافی (P) و اطلاعات به دست آمده با مشاهده سیستم (Y)به اطلاعات خلفی ترکیبی (X A):

جایی که π (x ∣ p) نشان دهنده چگالی احتمال وضعیت قبلی است که توسط سایر اطلاعات مربوطه شرط بندی شده است ، و π (y ∣ x ، p) احتمال مشاهده ای است که توسط پیش بینی x f و اطلاعات قبلی p شرط می شود. در اینجا ما مورد بعدی را در نظر می گیریم که x f ، x a ∈ R n ، y ∈ℝ m ، که در آن پشتیبانی از تراکم احتمال قبلی و خلفی زیر مجموعه فضاهای مربوطه است.

فیلتر ذرات کلاسیک (Reich and Cotter ، 2015) نشان دهنده توزیع حالت توسط مجموعه های ذرات ، یعنی مجموعه های نمونه ها است. به طور خاص ، یک گروه از ذرات n f x f = [x 1 f ،… x n f f] ∈ R n × n f را در نظر بگیرید. چگالی توزیع قبلی با اندازه گیری تجربی مربوطه ، ضعیف است ،

where w j f for 1 ≤ j ≤ N f are the prior importance weights associated with each particle such that ∑ i w i f = 1 and w i f>0 . به طور مشابه، چگالی خلفی با یک اندازه گیری تجربی بر اساس مقادیر نمونه مشابه (حالت های ذره) اما با وزن های اهمیت خلفی متفاوت w j a برای 1 ≤ j ≤ N f تقریب ضعیفی دارد:

وزن نمونه برداری با اهمیت پسین از معادله به دست آمده است.(1):

مجموعه وزن ها با w = [ w 1 , … w N f ] T نشان داده می شود و w f و w a به ترتیب به وزن های پیش بینی و تحلیل اشاره دارد. با استفاده از معادلات(3) و (4)، برآوردهای تجربی بی طرفانه از میانگین و کوواریانس پسین،

به ترتیب با رویکرد نمونه گیری اهمیت (لیو، 2008) به دست می آیند. عامل مقابل تخمین کوواریانس، بی طرفی بودن آن را تضمین می کند.

هدف ما یافتن یک مجموعه تحلیلی X a ∈ R n × N a از N a ≤ N f تحقق متغیر تصادفی X a است که نشان دهنده توزیع خلفی π X a با وزن های مساوی است. به طور خاص، چگالی خلفی با اندازه گیری تجربی ضعیف تقریب می شود،

که در آن وزن های نمونه گیری اهمیت یکنواخت و برابر با 1 / N a است (به طوری که احتمال یکسانی داشته باشد)، و X ^ a متغیر تصادفی مربوط به این معیار است که در توزیع ضعیف به متغیر تصادفی عقبی دقیق Xa همگرا می شود. ما نیاز داریم که میانگین تجربی (5) توسط معادله حفظ شود.(6)

به این معنی که میانگین وزنی گروه پیش بینی، میانگین گروه تحلیل است.

جفت بهینه (مک کان، 1995؛ رایش و کوتر، 2015) بین توزیع تجربی قبلی معادله(2) و توزیع تجربی پسین معادله.(6) را می توان به عنوان یک تبدیل مجموعه تعریف کرد،

که در آن T ∗ ∈ R N f × N a راه حل مسئله حمل و نقل بهینه Monge-Kantorovich است (ویلانی، 2003). مهم است که ببینیم هر عنصر T∗ مثبت است. مسئله حمل و نقل بهینه گسسته است

(9) T ∗ = argmin T ∑ 1 ≤ j ≤ N f 1 ≤ k ≤ N a T j , k X j f - X k f 2 2 مشروط به T 1 N a = N a w a , T T 1 N f = 1 N a, T i , j ≥ 0 ,

که در آن اندازه گیری فاصله مجذور فاصله اقلیدسی برای وجود یک راه حل منحصربه فرد برای مسئله Monge-Kantorovich گرفته می شود (مک کان و گیلن، 2011). بردار اندازه q با 1 نشان داده می شود_q. مشکل معادله(9) یک مسئله برنامه ریزی خطی است. تصویری از انتقال بهینه بین دو توزیع پیوسته در شکل 1 ارائه شده است.

شکل 1 نمایش بصری روش حمل و نقل بهینه پیوسته. توزیع احتمال π X f از طریق نگاشت انتقال بهینه T به توزیع π X a منتقل می شود. نسخه گسسته راه حل توسط معادله ارائه شده است.(9).

ETPF استاندارد (ریچ، 2013) این فرض را ایجاد می کند که اندازه های گروه قبلی و بعدی یکسان هستند: N := N a = N f در معادله.(9). در ETPF، بیشتر سایر اطلاعات قبلی در P معمولاً نادیده گرفته می شود. معادله انتقال بهینه گسسته(8) فرمول یک نگاشت Xa = Ψ N f , N a ( X f ) ایجاد می کند که در حد اندازه مجموعه (N f = N a → ∞ ) به طور ضعیفی به یک نگاشت Ψ همگرا می شود، به طوری که X a =Ψ( X f ) توزیع دقیق مورد نظر را با معادله ارائه شده دارد.(1) (رایش و کوتر، 2015، قضیه 5. 19). یک پسوند مرتبه دوم به ETPF (که در اینجا "ETPF2" می نامیم) (Acevedo et al., 2017) معادله انتقال بهینه را اصلاح می کند.(8) به شرح زیر:

که در آن عبارت اضافی D ماتریسی است که تضمین می کند که کوواریانس تجربی Σ X a از معادله تخمین زده می شود.(5) توسط معادله حفظ شده است.(6).

2. 1 بومی سازی

در مسائل ژئوفیزیکی با ابعاد بالا، همبستگی خطای فضایی با افزایش فاصله فضایی بین حالت ها کاهش می یابد. با توجه به ماهیت کم نمونه مجموعه، این همبستگی ها ممکن است به طور دقیق تقریبی نباشد. محلی سازی به ما اجازه می دهد تا به شدت کاهش همبستگی های بین ایالات دور را اعمال کنیم. برای محلی سازی در ETPF، ما از فرمول R-localization ارائه شده در رایش و کوتر (2015) و Acevedo و همکاران پیروی می کنیم.(2017). شکل 2 تصویری از محلی سازی R را با روش کامل شرح داده شده در زیر ارائه می دهد.

شکل 2 نمایش بصری محلی سازی R در ETPF. پانل (a) نشان دهنده شعاع محلی سازی در اطراف متغیر حالت i است که با نقطه سیاه نشان داده شده است، با مشاهدات نشان داده شده با نقاط قرمز باز. پانل (b) نشان دهنده همبستگی R-1 در امتداد قطر است.

به طور معمول، توزیع خطای مشاهده بدون سوگیری و گاوسی فرض می شود، با چگالی احتمال که برای محاسبه وزن ها در معادله استفاده می شود.(4) برای تحقق خاصی از مشاهده Y، وضعیت X، و اطلاعات قبلی P، تعریف شده به عنوان

که در آن ℋ عملگر مشاهده است. در این مورد می توان آن را به طور کامل با کوواریانس خطای مشاهده R∈ Rm × m پارامتر کرد که m تعداد مشاهدات است.

ما فرض می کنیم که مشاهدات همبستگی ندارند، و R = دیاگ j Rj، j را یک ماتریس مورب می کند. برای متغیر حالت ℓ x (ℓ)، ماتریس کوواریانس خطای مشاهده موضعی R را تعریف می کنیم._ℓاز طریق

که در آن d مقداری تابع فاصله است که بین متغیر فضای حالت ℓ و متغیر فضای مشاهده j امین تعریف شده است، r شعاع محلی سازی است، ρ یک تابع همبستگی است، و ∘ مخفف حاصلضرب عنصر هادامارد است. در این کار از تابع همبستگی Gaspari-Cohn استفاده می کنیم (Gaspari and Cohn, 1999). معکوس موضعی کوواریانس خطای مشاهده (12) سپس در تولید گروه وزنی w ℓ a، مشابه معادله استفاده می شود.(4).

یک ماتریس تبدیل متفاوت برای هر متغیر حالت محاسبه می شود. به طور خاص، مجموعه های متغیر فضای حالت ℓ را در نظر بگیرید:

(13) x f , ( ℓ ) = x 1 f , ( ℓ ) , … , x N f f , ( ℓ ) , x a , ( ℓ ) = x 1 a , ( ℓ ) , … , x N a a , ( ℓ ).

فرمول مسئله Monge در معادله(9) با فرمول محلی برای متغیر ℓ جایگزین می شود،

(14) T ℓ ∗ = argmin T ∑ 1 ≤ j ≤ N f 1 ≤ k ≤ N a T j , k x j f , ( ℓ ) - x k f , ( ℓ ) 2 2 موضوع T 1 N a = N a w , T T 1 N f = 1 N a , T i , j ≥ 0 ,