فرآیندهای تأخیر تصادفی تعادل

برای تجربه مزایای فرمت پرونده EPUB3 به یک نرم افزار reader یا سازگار نیاز دارید.

991 بارگیری در کل

این مقاله را به اشتراک بگذارید

نامه الکترونیکی نویسنده

وابستگی های نویسنده

1 گروه فیزیک ماکرومولکولی ، دانشکده ریاضیات و فیزیک ، دانشگاه چارلز ، V Holešovičkách 2 ، CZ-180 00 Praha ، جمهوری چک

2 مؤسسه Für نظریه Physik ، Universität Leipzig ، Postfach 100 920 ، D-04009 Leipzig ، آلمان

3 مرکز بین المللی فیزیک نظری ، خیابان. Costiera 11 ، 34151 Trieste ، ایتالیا

یادداشت های نویسنده

4 نویسنده ای که باید به هر مکاتبات پرداخته شود.

شناسه های orcid

تاریخ

1. 26 اوت 2021 دریافت کرد
2. اصلاح شده در 8 ژانویه 2022
3. 14 ژانویه 2022 را پذیرفت
4. منتشر شده 16 فوریه 2022

چکیده

فرآیندهای تصادفی با تأخیر زمانی نقش مهمی در علم و مهندسی دارند هر زمان که سرعت محدود انتقال و پردازش سیگنال رخ دهد. با این حال ، تجزیه و تحلیل دقیق ریاضی از پویایی و ترمودینامیک آنها فقط برای مدل های خطی در دسترس است. ما یک کلاس از فرآیندهای تأخیر تصادفی را با نیروهای محلی غیر محلی و نیروهای با تأخیر زمان خطی معرفی می کنیم که از قضایای نوسان پیروی می کنند و در زمان های طولانی به یک تعادل بولتزمن همگرا می شوند. از دیدگاه تئوری کنترل ، چنین "فرآیندهای تأخیر تصادفی تعادل" با ساخت و ساز پایدار و با انرژی منفعل هستند. از نظر محاسباتی ، آنها محدودیت های دقیقی را در مورد مشکلات تأخیر تصادفی غیرخطی عمومی ارائه می دهند و می توانند در موقعیت های مختلف به عنوان نقطه شروع برای تجزیه و تحلیل آشفتگی خود عمل کنند. از نظر جسمی ، آنها تفسیری را از نظر یک ذرات براونی تحت فشار که یا در یک حمام حرارتی غیر مارکووی یا به یک نیروی بازخورد با تأخیر در یک حمام حرارتی مارکووی قرار می گیرد ، در معرض نیروی محلی قرار می گیرند. ما این خصوصیات را به صورت عددی برای یک مجموعه آشنا از خنک کننده بازخورد نشان می دهیم و به پیامدهای تجربی اشاره می کنیم.

استناد به صادرات و چکیدهBibtex RIS

محتوای اصلی این کار ممکن است تحت شرایط مجوز Creative Commons Attribution 4. 0 استفاده شود. هرگونه توزیع بیشتر این کار باید نسبت به نویسنده (ها) و عنوان کار ، استناد به ژورنال و DOI حفظ شود.

1. مقدمه

معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی (SDDES) را در نظر بگیرید

with a nonlinear time-local force F ( t ) = F ( x , v , t ) and a linear delay force ( τ>0)

با ضرایب ثابت κ_τو γ_τ. دینامیک به طور تصادفی توسط نویز تصادفی گاوسی (t) احتمالاً غیرمارکوینی با میانگین صفر هدایت می شود. به طور شهودی، می توان معادلات (1) و (2) را به عنوان توصیف کننده تکامل زمانی موقعیت x (t) و سرعت v (t) یک ذره براونی با جرم m که توسط نیروهای ترکیبی η، F و رانده می شود، در نظر گرفت. اف_D. این نیروها می توانند از ریشه های مختلفی ناشی شوند، به عنوان مثال. از محیط و دستگاه آزمایشی، از جمله برخی مکانیسم های بازخورد خاص. مشخصات بیشتر و تفاسیر مختلف در زیر ارائه خواهد شد. به دلیل سرعت های محدود انتقال و پردازش اطلاعات و عناصر با پاسخ آهسته، چنین معادلاتی در مهندسی [1]، زیست شناسی [2-4] و حتی اقتصاد [5-8] در همه جا حاضر هستند. اغلب، آنها در مدل سازی حلقه های بازخورد [9-26]، شبکه های عصبی [27-30]، پویایی جمعیت [31، 32] و اپیدمیولوژی [33، 34] استفاده می شوند.

افزایش علاقه به SDDE ها در میان فیزیکدانان [35] توسط آزمایش های اخیر هدایت می شود. در آزمایش های به اصطلاح خنک کننده فیدبک با ذرات براونی، بازخوردی از سرعت گذشته ذره برای دستیابی به حالت محلی تر به کار می رود [36-39]. در زمینه موجی ماده فعال [40-42]، تأخیرهای زمانی اجتناب ناپذیر در کنترل ازدحام های روباتیک [18] منجر به تحقیقات در مورد پایداری و محلی سازی سیستم های چند بدنه با برهمکنش های تاخیری شد [18، 21، 22، 25،43]. در توافق با عمل مهندسی [1، 10، 11، 44]، مشخص شد که تاخیر به طور کلی ناپایداری ها و نوسانات را وارد دینامیک می کند [22، 43] و فقط در موارد خاص ثبات و محلی سازی را افزایش می دهد [41].

به طور مشابه، تأخیرهای ابزاری و بازخورد اجتناب ناپذیر در آزمایش های ریز دستکاری [22، 45] که برای آزمایش ترمودینامیک تصادفی [46، 47] مورد استفاده قرار می گیرند، بررسی جنبه های ترمودینامیکی SDDEs را آغاز کرده است [13، 48-51]. پیامدهای جالبی از علیت فرآیندهای معکوس زمانی در سیستم های تاخیر به دلیل تاریخچه ردیابی (آینده) برای معکوس زمانی وجود دارد. اگر به عنوان سیستم های بازخورد محور با جریان اطلاعات تفسیر شود، نرخ کل تولید آنتروپی آنها، که به عنوان نسبت احتمالات مسیر جلو به عقب ارزیابی می شود، فقط مجموع جریان های آنتروپی به سیستم (S) و داخل حمام نیست. ب) [48، 49، 51، 52]. این بدان معنی است که قانون دوم به معنای مثبت بودن نیست. این نتایج برای سیستم (1) و (2) با نویز سفید گاوسی η (t) ∝ ξ (t)،،، عمومی هستند. با این حال، عبارات صریح در حال حاضر فقط برای سیستم های خطی در دسترس هستند [48، 49، 51-53]، که قادر به توصیف طیف گسترده ای از اثرات جالب مشاهده شده در حضور نیروهای غیرخطی [48، 49، 51] نیستند. همین را می توان در مورد چگالی احتمال برای SDDE ها نیز گفت. آنها فقط برای تنظیمات خطی ساده در دسترس هستند [43، 54-63]، و سیستم های غیر خطی با تکنیک های تقریبی مختلف درمان شده اند [18، 43، 60، 61، 64-66].

حتی بدون تأخیر زمانی، درمان دقیق سیستم های غیرخطی واقعاً دشوار است. با این حال، خواص ثابت و آرامش آنها دقیقاً در تعادل ترمودینامیکی شناخته شده است. در این کار، ما این ویژگی را به کلاس خاصی از SDDE ها گسترش می دهیم. نتایج ما می تواند نه تنها برای تئوری فرآیندهای تاخیر، بلکه در زمینه های کاربردی، مانند نظریه کنترل، جالب باشد.

2. نتایج اصلی

به عنوان نتیجه اصلی ما، دسته ای از فرآیندهای تاخیر غیرخطی را شناسایی می کنیم که توصیف ترمودینامیکی استاندارد، از جمله نابرابری قانون دوم را می پذیرند. اگر رانده نشوند، از آمار بولتزمن در حالت ثابت اطاعت می کنند. بنابراین ما این فرآیندها را به عنوان "فرایندهای تاخیر تعادل" توصیف می کنیم. ایده اصلی این است که نیروی بازخورد با تأخیر زمانی اعمال شده به سیستم را با نویز رنگی مناسب همراه کنیم._FBو سیستم کلی حاصل را به عنوان ذره ای که در یک مخزن تعادل غوطه ور شده و توسط نیروهای خارجی محلی-محلی کنترل می شود ، تفسیر کنید. ما همچنین به چگونگی تفسیر معادلات (1) و (2) به عنوان یک سیستم بازخورد محور و چگونگی استفاده از نتایج خود در آن اشاره می کنیم. درمجموع ، ما سه تفسیر مکمل برای همان فرآیند تصادفی ارائه می دهیم: یک نوع خاص از سیستم با نیروهای با تأخیر زمان (بخش 1) ، سیستم با نیروهای محلی-محلی و یک حمام گرما با حافظه (بخش 2. 1) و یک بازخورد محورسیستم (بخش 2. 3). آنها فقط در تفسیر نیروهای فردی در سمت راست معادله تفاوت دارند (2). در جدول 1 ، ما روابط بین سه تفسیر و تعاریف نیروهای مربوطه را خلاصه می کنیم. در حالی که هدف از این مقاله در مورد بحث در مورد فرآیندهای تأخیر تعادل از نظر تئوری است ، ضمیمه B پیشنهاداتی را در مورد تحقق آزمایشی احتمالی برای مخازن حرارتی مارکوویان (توصیف شده توسط سر و صدای سفید) با استفاده از مجموعه های آزمایشی مدرن مشابه موارد موجود در [39 ارائه می دهد.، 67-69]. در ادامه ، ما k ثابت بولتزمن را می گیریم_Bبه عنوان واحد آنتروپی ما.

جدول 1. سه تفسیر از معادله تاخیر لانژوین (2) به کار رفته در این مقاله و نیروهای مربوطه. نیروهای موجود در سه تفسیر همان تغییر را در حرکت و در نتیجه همان فرآیند تصادفی انجام می دهند. اصطلاح κ_τx (t) - γ₀v (t) در نیروی f در تفسیر A برای تسهیل تفسیر مجدد نیروی تأخیر F معرفی شده است_Dبه عنوان بخشی از نیروی اصطکاک f_Fدر ب. توسط "نیروهای خارجی معمولی" در یک نیروهای محلی محلی که از تعامل فیزیکی ناشی می شوند و بنابراین از طریق یک حلقه بازخورد استفاده نمی شوند.

2. 1نقشه برداری به کنترل زمان محلی و حمام گرمای غیر مارکووی (جدول 1 (ب))

در این بخش ، تفسیر مجدد سیستم تأخیر (جدول 1 (الف)) را به عنوان یک سیستم تعادل با حافظه توصیف می کنیم (جدول 1 (ب)). یک سیستم تأخیر توصیف شده توسط معادلات (1) و (2) با نیروی محلی-محلی را در نظر بگیرید

شکل خاص اصطلاحات متناسب با ثابت γ₀>0 و κ_τتفسیر مجدد نیروی تأخیر f را تسهیل می کند_Dدر معادله (2) به عنوان بخشی از یک نیروی اصطکاک ، در زیر. نیروی باقی مانده در معادله (4) ،

یک نیروی محلی محلی دلخواه است که توسط عوامل خارجی اعمال می شود. از اجزای بالقوه و غیر پتانسیل تشکیل شده است-_ایکسU (x ، t) و f_N(X ، V ، T). برای تشخیص نیروی f_Eاز نیرویی که از طریق حلقه بازخورد در تفسیر بازخورد معادلات (1) و (2) (جدول 1 (c)) اعمال می شود ، آن را "نیروی خارجی" معمولی می نامیم.

معادله (2) اکنون فرم را فرض می کند

با f_F(T) ≡ κ_τ[x (t) - x (t - τ)] - γ₀V (t) - γ_τV (T - τ). این شبیه به معادله دینامیکی برای سرعت یک ذره در معرض نیروی خارجی است_Eو در یک حلال ویسکوالاستیک غوطه ور شده و روی ذرات نیروی کلی f_F+ η با مؤلفه سیستماتیک (اصطکاک) f_F، و مؤلفه تصادفی (نویز) η.

چنین سر و صدایی و اصطکاک را می توان از یک حمام گرمای تعادل معمولی ، یعنی یک سیستم بدنه با ظرفیت گرمای نامحدود در تعادل حرارتی ، با یک حافظه تا حدودی عجیب و غریب که باعث ایجاد "اکو" در سر و صدا و اصطکاک می شود ، تفسیر کرد. 1 (ب)). قابل ذکر است ، برای یک حمام گرمای تعادل با یک نیروی اصطکاک خطی در متغیرهای X و V ، مانند F_F، تقارن زمان معکوس دینامیک میکروسکوپی اساسی حاکی از آن است که اصطکاک و سر و صدا توسط قضیه به اصطلاح نوسان دوم یا رابطه یا رابطه نوسان و نوسان (FDR) مرتبط هستند [70-73]

در اینجا دمای دما را نشان می دهد و γ (t) هسته به اصطلاح اصطکاک است که توسط انتگرال تعریف شده است

برای یک اصطکاک مشخص f_F، FDR (7) ممکن است دلالت کند که سر و صدا باید پیچیده باشد. با این حال ، برای پذیرش تفسیر جسمی معمولی و قابلیت واقعی بودن آن در آزمایشگاه ، η (t) به یک عملکرد واقعی نیاز دارد. این شرط به این معنی است که طیف قدرت آن باید غیر منفی باشد ،

برای سیستم معادلات (1) - (6) ، شرایط (7) و (9) فقط برای طیف معینی از پارامترهای مدل فقط می تواند رضایت داشته باشد ، به بخش های 3 و 4 مراجعه کنید. در این محدوده ، معادلات (1) و (6) را می توان به عنوان توصیف یک سیستم با Hamiltonian داخلی H = U (X ، T) + MV 2 /2 تعبیر کرد که توسط یک نیروی غیر پتانسیل f انجام می شود_Nو همراه با یک حمام تعادل غیر مارکووی در دمای t. بگذارید اکنون برخی از خصوصیات کلی این سیستم را مرور کنیم.

2. 2خواص نقشه برداری (جدول 1 (ب))

ترمودینامیک متوسط. اگر نقشه برداری تعادل فوق در نظر گرفته شود ، ترمودینامیک سیستم از روابط استاندارد از کلاسیک [74] و تصادفی [46 ، 47] ترمودینامیک پیروی می کند. یعنی ، میانگین شار آنتروپی به حمام گرمای غیر مارکووی در دمای T توسط برابری Claussius داده می شود

متوسط شار گرما از حمام گرما به سیستم کجاست. همچنین می توان آن را به عنوان کارهایی که توسط حمام روی سیستم در هر واحد انجام می شود ، تفسیر کرد. در اینجا و زیر ما از حساب Stratonovich استفاده می کنیم. میانگین باید در بسیاری از تحقق روند تصادفی انجام شود.

متوسط شار گرما از طریق قانون اول ، به میانگین ورودی انرژی ، سیستم ، به دلیل دستکاری های خارجی از U و نیروی غیر پتانسیل f مرتبط است_Nوادمجموع میزان تغییر آنتروپی سیستم ، و هجوم آنتروپی در معادله (10) تولید کل آنتروپی است که از قانون دوم ترمودینامیک پیروی می کند [74]:

پویایی شناسی . بر خلاف یک سیستم تأخیر کلی ، که می تواند رفتار بیش از حد مرطوب و مرطوب ، اما همچنین رفتارهای واگرا [10 ، 11 ، 13 ، 43 ، 61 ، 62] ، سیستم هایی که از نقشه برداری بخش 2. 1 پیروی می کنند همیشه در نهایت در یک ثابت مستقل از زمان استراحت کنند. حالت برای پارامترهای مستقل زمان ، محدود کردن U و نیروهای غیر پتانسیل ثابت f_Nواداگر دومی در معادله (5) از بین برود ، عملکرد چگالی احتمال ثابت (PDF) برای موقعیت و سرعت توسط توزیع کانونی گیبس ، p (x ، v ؛ t) = p داده می شود._ایکس(x ؛ t) p_حرفهای(v ؛ t) ، با

نرمال شده توسط و . این یک حالت پایدار تعادلی است و بنابراین نرخ های تولید آنتروپی مربوطه، و ناپدید می شوند. برای تغییرات شبه استاتیکی پتانسیل، هنگامی که سیستم PDF از طریق مجموعه ای از این حالت ها تکامل می یابد، تغییر کل آنتروپی ناپدید می شود و آنتروپی در سیستم تغییر می کند، Δ S_S، دقیقاً با تغییر آنتروپی در حمام متعادل می شود، Δ S_NM. فرآیند آرامش تا تعادل همیشه با کاهش انرژی آزاد سیستم همراه است. بنابراین، این تابع تابع لیاپانوف را برای فرآیند آرامش نشان می دهد که به راحتی می تواند از مسیرهای تصادفی سیستم ارزیابی شود. حتی محدودیت های قوی تری در دینامیک آرامش توسط قضیه نوسانات ایوانز-سرلز اعمال می شود [75، 76]. در مقابل، علاوه بر موفقیت محدود [77]، در حال حاضر ناشناخته است که آیا محدودیت های عمومی مشابهی برای آرامش به سمت حالت های ثابت غیرتعادلی نیز اعمال می شود یا خیر.

اعتبار این نتایج برای یک پتانسیل دلخواه U (x) از ملاحظات کلی فیزیک آماری تعادل [74] و FDR [70-73] ناشی می شود. با این حال، یک معادله دینامیکی بسته، به عنوان مثال. از نوع فوکر-پلانک [78، 79]، برای PDF یک فرآیند تاخیر غیرخطی شناخته نشده است [13] که یک راستی آزمایی مستقیم کلی را دشوار می کند. در بخش 5، ما یک آزمایش صریح برای پتانسیل خاص U (x, t) = k ارائه می دهیم₆x 6/6 + k₃x 3/3 با استفاده از شبیه سازی دینامیک براونی (BD) معادلات (1) و (2). علاوه بر این، نتایج توصیف شده را برای پتانسیل های چند جمله ای دیگر آزمایش کردیم.

ما تأکید می کنیم که ویژگی های تعادل مانند توصیف شده فرآیندهای تأخیر تعادل، پویایی آنها را بی اهمیت نمی سازد. به عنوان مثال، موقعیتی را در نظر بگیرید که نیروی F در رابطه (2) در x و v خطی است و بنابراین سیستم (1) و (2) دقیقاً قابل حل است. برای شرایط اولیه ثابت، می توان دریافت که موقعیت متوسط ⟨ x (t)⟩ و سرعت ⟨ v (t)⟩ برای تعادل (η) یکسان هستند._FBدر جدول 1 با شرایط (7) و (9)) و استاندارد (η_FB= 0) تاخیر در فرآیندها. چهار تابع همبستگی ⟨ A (t) B (0)⟩ برای A، B = x، v ممکن است صرفاً در توزیع ثابت شرایط اولیه متفاوت باشد.

قضایای نوسانات . از دیدگاه تصادفی-ترمودینامیک، جالب است که یک پروتکل سرعت محدود را نیز در نظر بگیریم که پتانسیل را وابسته به زمان ارائه می دهد. به طور خاص، در بخش 5، دو قضیه نوسان را برای کار تصادفی انجام شده روی سیستم آزمایش می کنیم، اگر k₆= k₆(t ')، t' ∈ (0, t ) به صورت غیر شبه استاتیک تغییر می کند، یعنی برابری یارزینسکی [80]

و قضیه نوسانات کروکس [81]

در اینجا ΔF اختلاف انرژی آزاد بین حالت های تعادلی مربوط به مقادیر نهایی و اولیه پتانسیل، ρ است._Fتوزیع احتمال برای کار است که در طول فرآیند اندازه گیری می شود که پتانسیل از U (x, 0) به U (x, t) و ρ تغییر کند._Rتوزیع احتمال برای کار است که در طول فرآیند معکوس زمان اندازه گیری می شود. برای هر دو قضیه نوسان، روند رو به جلو از تعادل خارج می شود. اعتبار برابری یارزینسکی مستلزم وجود حالت های ثابت اولیه و نهایی گیبس است و قضیه نوسانات کروکس نیز به FDR و گاوسی بودن نویز نیاز دارد [82]. فرآیندهای توصیف شده تمام این الزامات را برآورده می کنند و در واقع، شبیه سازی های ما معادلات (14) و (15) را تایید می کنند.

انبساط آشفته . حتی اگر بر اساس یک انتخاب موقت نویز، نتایج ما اولین راه حل های تحلیلی دقیق را برای PDF های ثابت برای یک SDDE غیرخطی نشان می دهد. به این ترتیب، آنها ممکن است راه را برای مطالعه حالت های پایدار و خواص ترمودینامیکی سیستم هایی که توسط SDDE های غیرخطی عمومی تر کنترل می شوند، هموار کنند. ما در بخش 6 نشان می دهیم که نظریه پاسخ خطی [72] می تواند برای محاسبه میانگین های وابسته به زمان در سیستم های تاخیر تعادلی آشفته (غیرخطی) استفاده شود. علاوه بر چنین پاسخ خطی کلاسیکی، می توان برخی فرمول های تقریبی صریح را برای اغتشاشات خاص در سطح ممان های محاسبه شده مستقیماً از سیستم غیرخطی SDDE (1) و (2) استخراج کرد.

2. 3. بازخورد تعادل (جدول 1 (C))

تفسیر رسمی معادلات دینامیکی (1) و (2) به عنوان مدلی برای یک سیستم غوطه ور در یک حمام تعادل غیرمارکووی و هدایت شده توسط نیروی زمانی-محلی F_E، در بخش 2. 1، به ما این امکان را داد که از تعداد زیادی از نتایج شناخته شده استفاده کنیم. با این حال، در عمل، این معادلات معمولاً سیستم های بازخورد محور در تماس با حمام حرارتی مارکوین را توصیف می کنند که اصطکاک بدون حافظه را اعمال می کند - γ.₀v و نویز سفید گاوسی با . معمولاً محیط سیستم چنین حمامی را فراهم می کند. برای بررسی این تفسیر طبیعی تر، معادله دینامیکی سرعت را بازنویسی می کنیم

و آن را به عنوان توصیف یک سیستم غوطه ور در یک حمام حرارتی استاندارد، یعنی گاوسی و مارکویی در دمای T تفسیر کنید.₀. این سیستم توسط نیروی زمانی-محلی F کنترل می شود_Eو نیروی بازخورد

متشکل از مولفه تاخیری سیستماتیک F_Fو نویز "بازخورد"، جدول 1 (C) را ببینید. با توجه به اینکه شرایط (7) و (9) برآورده شده است، این فرآیند را یک فرآیند بازخورد تعادلی (EFB) می نامیم.

نکته مهم، نتایج رسمی مربوط به پویایی سیستم، یعنی PDFهای ثابت (12) و (13)، بدون توجه به تفسیر معتبر هستند، و بنابراین برای EFB نیز کاربرد دارند. این بدان معنی است که EFB از نقطه نظر کنترل مبتنی بر انفعال [83] ایده آل است، که شاخه ای از تئوری کنترل است که هدف آن متعادل کردن توان تحویلی به سیستم با اتلاف آن است. هنگامی که هجوم انرژی توسط بازخورد به تدریج انرژی داخلی سیستم را افزایش می دهد، بازخورد عمومی می تواند منجر به واگرایی و بی ثباتی شود. با این حال، فرآیندهای EFB همیشه پایدار و غیرفعال هستند به این معنا که حالت های پایدار حاصل در برابر اختلالات قوی هستند و تمام انرژی تزریق شده به سیستم تلف می شود. در پیوست A، علاوه بر این، نشان می دهیم که، تحت شرایط واقعی، دمای T متناظر با PDF Boltzmann به دست EFB همیشه بزرگتر از دمای محیط T است.₀.

ترمودینامیک EFB باید با دقت درمان شود. به طور خاص، تولید کل آنتروپی وابسته به تفسیر است. اما کار تصادفی انجام شده بر روی سیستم با تغییر پتانسیل ثابت باقی می ماند و قضایای نوسانات (14) و (15) هنوز معتبر هستند. تفاوت در تعاریف شار ترمودینامیکی باقی مانده به وجود می آید. با تعریف حاضر از حمام حرارتی، شار حرارتی می خواند. و علاوه بر میانگین توان تحویلی به سیستم توسط نیروهای بالقوه و غیر بالقوه، باید توان مربوط به نیروی فیدبک F را نیز در نظر گرفت._FB.

در یک فرآیند بازخورد مرسوم، این توان با یک هجوم اطلاعات [48، 49، 51، 52] همراه است که به عنوان مثال، به بازخورد اجازه می دهد تا سیستم را خنک کند [36، 38]. سپس دمای (موثر) حاصل از سیستم کوچکتر از دمای حمام محیطی است که حاکی از شار گرمای مثبت از حمام به داخل سیستم است. بنابراین در حالت ثابت، بازخورد معمولی قادر است حمام محیط را با استخراج نیرو از آن خنک کند. با این حال، برای یک نیروی دلخواه F_E، قانون دوم (11) همراه با رابطه یک حد بالایی را بر گرمای ارسال شده از حمام به سیستم از طریق EFB تحمیل می کند. و در ضمیمه A نشان می دهیم که در شرایط تعادل، EFB سیستم را به دمای موثر، T، بزرگتر از دمای محیط، T می رساند.₀واداز این رو ، شار گرما همیشه منفی است ، EFB شبکه را روی سیستم انجام می دهد و در نهایت حمام محیط را گرم می کند. این بدان معنی است که EFB نمی تواند برای خنک کننده بازخورد سیستم استاندارد (صفر نیروی غیر پتانسیل و پتانسیل مستقل از زمان) از سیستم استفاده شود [36 ، 38].

بخش های 3 و 4 روشن می کند که EFB می تواند با نیروهای با تأخیر زمان بسته به موقعیت قبلی یا سرعت ، یعنی هنگامی که نویز بازخورد مربوطه η قابل تحقق است ، تحقق یابد_FBدر جدول 1 (c) می توان با ارزش واقعی محدود شد. جزئیات فنی در پیوست b آورده شده است. رژیم های پارامتر حاصل که در آن EFB می تواند در این دو حالت تحقق یابد ، در نمودارهای فاز نشان داده شده است (شکل 1 و 2). EFB با نیروهای تاخیر زمان بسته به موقعیت تأخیر و سرعت می تواند به روشی مشابه بررسی شود ، اما نمودار فاز مربوطه سه بعدی می شود. در بخش 5 ، ما اعتبار نتایج نظری خود را با شبیه سازی BD از بازخورد سرعت تعادل تأیید می کنیم. در بخش 6 ، ما در مورد چندین گسترش آشفته که تئوری را فراتر از رژیم پارامتر فرآیندهای تأخیر تعادل قرار می دهند ، بحث می کنیم. ما در بخش 7 نتیجه می گیریم.

شکل 1. نمودار فاز بازخورد موقعیت در متغیرهای کاهش یافته و. در منطقه FDR ، و سیستم دارای زمان آرامش مثبت T_Rوادسپس سیستم برای تأخیر دلخواه پایدار است و می توان آن را با بازخورد موقعیت تعادل هدایت کرد. در منطقه No-FDR ، و t_R>0 ، سیستم به حالت پایدار پایدار می رسد ، اما بازخورد موقعیت تعادل در عمل قابل تحقق نیست. در منطقه ناپایدار (t_R <0), the velocity exhibits exponentially diverging oscillations due to large time delays and thus no steady state exists. For τ = 0, the process is stable.

شکل 2. نمودار فاز بازخورد سرعت در متغیرهای کاهش یافته و. در منطقه FDR ، 0 ⩽ |γ_τ|⩽ γ₀و سیستم زمان آرامش مثبت دارد_حرفوادسپس سیستم برای تأخیر دلخواه پایدار است و می توان آن را با بازخورد سرعت تعادل (EFB) هدایت کرد. در منطقه No-FDR ، γ₀⩽ |γ_τ|و t_R>0 ، سیستم به حالت پایدار پایدار می رسد اما EFB در عمل قابل تحقق نیست. در منطقه ناپایدار (t_R <0), the velocity exhibits exponentially diverging oscillations due to large time delays and thus no steady state exists.

3. بازخورد موقعیت تعادل

بگذارید اکنون وضعیت نیروی بازخورد وابسته به موقعیت را در نظر بگیریم (γ_τ= 0 در معادله (17))

جایی که θ (.) عملکرد مرحله Heaviside را نشان می دهد. این نتیجه را می توان با تعویض مستقیم به معادله (8) و ادغام اصطلاح از جمله سرعت توسط قطعات ، معادله CF (9. 14) در مرجع تأیید کرد [13].

شرایط (7) و (9) در EFB نشان می دهد که هسته اصطکاک (19) و نویز کل (به جدول 1 (A) مراجعه کنید) باید از FDR پیروی کنند.

و اینکه طیف توان مربوطه باید غیر منفی باشد،

با استفاده از max[sin( x)/ x] = 1 و min[sin( x)/ x ] ≈ -0. 22، این نابرابری ها را نشان می دهد

که رژیم پارامتری را مشخص می کند که در آن نویز η (t) که FDR (20) را برآورده می کند، می تواند در آزمایشگاه واقعاً تحقق یابد (برای جزئیات تحقق نویز، به پیوست B مراجعه کنید). نابرابری ها نیاز به γ غیر منفی دارند₀که همیشه در تفسیر EFB، که γ₀قدرت اصطکاک پس زمینه را اندازه گیری می کند. برای γ₀⩾ 0، نابرابری های (22) قدرت بازخورد κ را محدود می کند_τبه عنوان - γ₀/0. 22 ⩽ κ_τ⩽ γ₀.

تحت این شرایط، بازخورد موقعیت تعادل تمام خصوصیات توضیح داده شده در بخش 2 را برآورده می کند. به ویژه در نهایت توزیع تعادل پایدار (12) و (13) را هر زمان که ∂ U / ∂ t = F به دست می آید را به دست می آورد._N= 0. با این حال، تأخیر زمانی در یک بازخورد عمومی ممکن است مسیرهای متفاوتی را برای مقادیر پارامترهای خاص ایجاد کند. به عنوان یک بررسی مستقل که رژیم پارامتر (22) که امکان بازخورد موقعیت تعادلی را فراهم می کند همیشه به راه حل های ثابت منتهی می شود، ما ثبات کلی بازخورد موقعیت را بررسی می کنیم که توسط معادلات (16) و (18) برای مورد F توصیف شده است._E= 0، که می تواند به صورت تحلیلی بازرسی شود.

به طور خاص، فرآیند (16) در نهایت به یک حالت ثابت پایدار می رسد اگر تمام زمان های آرامش مربوطه، t_R، مثبت هستند. برای محاسبه آنها، نیروی بازخورد (18)، F را جایگزین می کنیم_E= 0، و در معادله (16)، η ( t ) = 0 را تنظیم کنید و معادله حاصل را با استفاده از ansatz نمایی x = exp(- λt / τ ) حل کنید. 4 معادله ماورایی به دست آمده

به طور کلی فقط به صورت عددی قابل حل است و راه حل های بی نهایت زیادی دارد. به عنوان زمان آرامش سیستم، t_R، ما کوچکترین معادله حل (23) را شناسایی می کنیم که در آن قسمت واقعی را نشان می دهد. سیستم در نهایت به حالت پایدار با ⟨ v (t)⟩ = 0 در صورتی که t_R>0. جواب صریح تقریبی معادله (23) را می توان در حد تاخیر کوچک به دست آورد. انبساط اصطکاک F_Fدر رابطه (18) تا مرتبه اول در τ به دست می آوریم

دو عبارت آخر را می توان به عنوان نویز و اصطکاک ناشی از حمام تعادل با ضریب اصطکاک γ تفسیر کرد.₀- κ_ττ، که دینامیک پایداری را ایجاد می کند که در آن تمام انرژی تزریق شده به سیستم توسط فیدبک تلف می شود (دینامیک غیرفعال) اگر

شرایط مربوط به پرونده کلی در شکل 1 نشان داده شده است. در واقع ، کل رژیم پارامتر که EFB را می توان با توجه به FDR (20) (سبز) تعریف کرد ، پایدار است. این نشان می دهد که ، همانطور که انتظار می رود ، EFB منفعل و پایدار است. با این وجود ، رژیم ثبات ، t_R>0 ، گسترده تر (نارنجی) است. قابل توجه ، این سیستم حتی برای γ می تواند پایدار باشد₀ <0 if the feedback strength κ _τهمچنین به اندازه کافی منفی است. این می تواند از شرط تقریبی برای ثبات (25) پیش بینی شود ، که مرز بین رژیم های پایدار و ناپایدار را برای بسیار خوب پیش بینی می کند. دینامیک تقریبی اجازه می دهد تا یک FDR مؤثر با دمای مؤثر تعریف کند_عارضه= t₀/(1 - κ_ττ / γ₀). با این حال ، فراتر از تقریب تأخیر کوچک ، وجود چنین FDR مؤثر تضمین نمی شود. برای مقادیر کوچکتر ، شرایط مرتبه بالاتر در تأخیر باعث می شود سیستم ناپایدار تر از حد انتظار از تجزیه و تحلیل خطی باشد. در رژیم ناپایدار (آبی) ، میانگین سرعت نوسانات به صورت تصاعدی در حال افزایش است [43 ، 62].

4- بازخورد سرعت تعادل

در مرحله بعد ، ما همان تجزیه و تحلیل را در بخش قبلی برای نیروی بازخورد وابسته به سرعت انجام می دهیم (κ_τ= 0 در معادله (17))