تجزیه و تحلیل پایداری بهبود یافته روش عددی برای معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی

در این مقاله ، روش بهبود یافته θ تقسیم شده ، به نام روش کامپوزیت تقسیم مرحله θ ، برای مطالعه پایداری میانگین مربع برای معادلات دیفرانسیل تصادفی با تأخیر زمانی ثابت پیشنهاد شده است. در شرایط جهانی لیپشیتز و رشد خطی ، ثابت شده است که روش کامپوزیت تقسیم شده θ با θ ≥ 0. 5 پایداری مربع را نشان می دهد. رویکردی برای بهبود ثبات عددی با انتخاب پارامترهای این روش نشان داده شده است. برخی از نمونه های عددی برای نشان دادن مطابقت بین نتایج نظری و عددی ارائه شده است.

کلید واژه ها: 37M05

1. معرفی

معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی در بسیاری از برنامه ها از جمله پردازش سیگنال ، سیستم های بیولوژیکی و مهندسی مالی به طور گسترده ای اعمال شده است [1،2،3]. به عنوان یکی از مشکلات اصلی در تجزیه و تحلیل عددی سیستم های تصادفی ، تئوری پایداری توجه زیادی را به خود جلب کرده است [4،5]. با توجه به ویژگی های معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی ، به دست آوردن یک راه حل تحلیلی معادلات آسان نیست. بنابراین ، تجزیه و تحلیل راه حل عددی دارای ارزش نظری خاصی و اهمیت عملی است.

تجزیه و تحلیل پایداری روشهای عددی برای معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی برخی از دستاوردها را کسب کرده است [6،7]. روش تقسیم مرحله θ ، به عنوان یک روش مهم عددی ، در سیستم های مختلف تصادفی اعمال شده است. Rathinasamy [8] پایداری میانگین مربع روش تقسیم مرحله θ برای تأخیر تصادفی شبکه های عصبی هاپفیلد در شرایط مناسب را بررسی کرد. کائو و همکاران.[9] پایداری میانگین مربعات نمایی روش تقسیم مرحله θ را برای معادلات دیفرانسیل تصادفی با تأخیر زمانی ثابت مورد مطالعه قرار داد. هوانگ [10] ثابت کرد که روش تقسیم مرحله θ با θ ≥ 0. 5 هنوز هم بدون قید و شرط ، ثبات میانگین مربعات نمایی سیستم های زیرین را تحت شرایط همراه بر روی ضرایب رانش و انتشار حفظ می کند. Rathinasamy و Balachandran [11] قابلیت t-step از روش تقسیم مرحله θ را برای معادلات تأخیر تصادفی خطی یکپارچه تجزیه و تحلیل کردند. پایداری میانگین مربع روش کامپوزیت تقسیم شده θ برای معادله دیفرانسیل تصادفی توسط Guo و همکاران معرفی شده است.[12]

در مقاله ، ما روش کامپوزیت تقسیم شده θ را برای معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی می سازیم و با تغییر مقادیر پارامترها θ و λ ، ثبات را بهبود می بخشیم. ثابت شده است که پایداری میانگین مربع از روش θ کامپوزیت تقسیم مرحله ای نسبت به روش تقسیم مرحله θ برتر است. در بخش 2 روش کامپوزیت تقسیم شده θ را معرفی می کنیم. پایداری این روش برای معادلات دیفرانسیل تأخیر تصادفی خطی در بخش 3 مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. در بخش 4 ، نمونه های عددی مربوطه بیشتر نتایج نظری به دست آمده را نشان می دهد. نتیجه گیری در بخش آخر بیان خواهد شد.

2. مقدمات و روش کامپوزیت تقسیم شده θ

در طول این مقاله ، مگر اینکه به طور دیگری مشخص شده باشد ، اجازه دهید (ω ، F ، P) یک فضای احتمال کامل با فیلتراسیون (F T) T ≥ 0 باشد ، که افزایش می یابد و به طور مداوم و راست و F 0 حاوی تمام مجموعه های P-null است. Ω و P به ترتیب فضای نمونه و احتمال هستند. اجازه دهید |· |هنجار اقلیدسی باشد. فرآیند Wiener w (t) در (ω ، f ، p) تعریف شده است [13].

معادله دیفرانسیل تأخیر تصادفی زیر را در نظر بگیرید [13]

d x (t) = f (t ، x (t) ، x (t - τ)) d t + g (t ، x (t) ، x (t - τ)) d w (t) x (t) = φ(T)

where t ∈ [ − τ , 0 ] , τ>0 ثابت است. بگذارید بخش اولیه C ([ -τ ، 0] ؛ R) -با ارزش φ (t) یک متغیر تصادفی یک بعدی با F 0 باشد به گونه ای که E ||φ ||2<∞ , where | | φ | | = sup − τ ≤ t ≤ 0 | φ ( t ) | . W ( t ) is one-dimensional Wiener process.

ما برخی از فرضیات را برای معادله تحمیل می کنیم (1). فرض 1.

f: [0 ، t] × r × r → r و g: [0 ، t] × r × r → r شرایط جهانی لیپشیتز و وضعیت رشد خطی را برآورده می کند.

(1). شرایط جهانی لیپشیتز: k ثابت مثبت وجود دارد ، به گونه ای که برای همه x 1 ، x 2 ، y 1 ، y 2 ∈ R و t ∈ [0 ، t]